新课程背景下高考数学应用题类型简析
福建大田 刘珍王
摘要：数学的高度抽象性决定了数学应用的广泛性，因而应用题的数学背景是多种多样的。课改区近几年高考的数学应用题题型，总结有统计模型、概率模型，统计与概率综合模型，立体模型，三角模型，函数模型，不等式模型等。特别是统计、概率及综合运用更成为高考热点，本文对这几年新课程实验区的高考数学应用题题型进行分析归类。
关键词：应用题 题型 归类
一、 统计模型
1、求线性回归方程及应用题型
如07年广东理科第17题：下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据：
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用
最小二乘法求出ｙ关于ｘ的线性回归
方程 ；（3）若该厂技术改造前１００吨甲产品能耗为９０吨标准煤；试根据（2）求出的方程，预测生产１００吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？
简析：（1）散点图略；（2）求出回归系数 ， ，从而得出回归方程为 ；（3）根据回归方程求出预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低19,65吨标准煤。
2、求分布列及数学期望题型
如08年广东理科第17题：随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一、二、三、次等品各为126件、50件、20件、4件。已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元。设1件产品的利润（单位：万元）为 。（1）求 的分布列；（2）求1件产品的平均利润；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为 ，一等品率提高为 。如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
简析：（1） 的分布列略；（2）用分布列求出 的数学期望 ；（3）设技术革新后的三等品率为 ，则1件产品的平均利润为 ，则由 得 ，所以三等品率最多为 。
又如09年安徽理科第17题也是相同题型。
3、求茎叶图及应用题型
如09年安徽文科第17题：某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A，将其与原有的一个优良品种B进行对照试验，两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据（单位：千克）如下：品种A:357，359，367，368，375，388，392，399，400，405，414，415，421，423，423，427，430，430，434，443，445，451，454；品种B：363，371，374，383，385，386，391，392，394，395，397， 397，400，401，401，403，406，407，410，412，415，416，422，430。（1）完成所附的茎叶图；（2）用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？（3）通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论。
简析：（1）茎叶图略；（2）由茎叶图可以看出用茎叶图处理现有的数据不仅可以看出数据的分布状况,而且可以看出每组中的具体数据；（3）通过观察茎叶图，可以发现品种A、B的平均每亩产量各为411.1千克、397.8千克。知品种A的平均亩产量比品种B的平均亩产量高，但品种A的亩产量不够稳定，而品种B的亩产量比较集中在平均产量附近。
4、随机抽样思想及频率分布直方图应用题型
如09年海南文科第19题：某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）。现用分层抽样方法（按A类，B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力。（1）A、B两类工人中各抽查多少工人？（2）从A类工人中抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2（表略），①先确定 ，再在答题纸上完成下列频率分布直方图（图略）。就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？②分别估计 类工人和 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平均数。
简析：（1）由分层抽样思想求出 类工人和 类工人分别抽查25名和75名；（2）画出频率分布直方图；①判断出 类工人中个体间的差异程度更小；②求出A类、B类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123，133.8和131.1。
5、独立性检验思想应用题型
如09年辽宁文科第20题：某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品。从两个分厂生产的零件中个抽出500件，量其内径尺寸，结果如下表（表略）。（1）试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；（2）由以上统计数据填下面 列联表（表略），并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”。
简析：（1）甲、乙厂的优质品率分别估计为 、 ；（2）由 列联表（表略）得出 即有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”。 二、w概率模型
这种题型主要考察概率基础知识，考察运算求解能力及化归与转化思想。考察等可能事件的概率等。如09年福建文科第18题：袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球。（1）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；（2）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率。
简析：（1）通过列举法，共有8种不同的结果；（2）记“3次摸球所得总分为5”为事件A，则A的基本事件数为3，则 。
又如08年山东文科第18题。
三、统计与概率综合模型
1、平均数与等可能事件的概率题型
如08年海南文科第19题：为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中
的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10。把这6名学生的得分看成一个总体。（1）求该总体的平均数；（2）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本。求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率。
简析：（1）总体平均数为7.5；（2）设 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”，写出从总体中抽取2个个体全部可能的15个基本结果及事件 包括的7个基本结果，则所求的概率为 。
2、二项分布与几何概型题型
如07年海南理科第20题：如图，面积为 的正方形 中有一个不规则的图形 ，可按下面方法估计 的面积：在正方形 中随机投掷 个点，若 个点中有 个点落入 中，则 的面积的估计值为 。假设正方形 的边长为2， 的面积为1，并向正方形 中随机投掷 个点，以 表示落入 中的点的数目。（1）求 的均值 ；（2）求用以上方法估计 的面积时， 的面积的估计值与实际值之差在区间 内的概率。
简析：（1）每个点落入 中的概率均为 ，
则 ，求出 ；
（2）所求概率为 。
3、随机抽样与等可能事件的概率题型
本题型主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查运用统计、概率知识解决实际问题的能力。
如08年广东文科19题：某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：
|
|
初一 |
初二 |
初三 |
|
女生 |
373 |
x |
y |
|
男生 |
377 |
370 |
z |
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级
女生的概率是0.19。（1）求x的值；（2）现用分
层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初
三年级抽取多少名？（3）已知y 245,z 245,
求初三年级中女生比男生多的概率。
简析：（1）初二女生为 人；（2）初三年级人数为为500人，用分层抽样的方法应在初三年级抽取的人数为12人；（3）设初三年级女生比男生多的事件为A，写出基本事件空间包含的基本事件为11个，事件A包含的基本事件为5个，则 。
又如09天津文科18题，09海南理科第18题及09山东文科第19题也是相同题型。
4、分布列、数学期望与概率运算题型
如08年山东理科第18题：甲、乙两队参加知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为 ，乙队中3人答对的概率分别为 ，且各人回答正确与否相互之间没有影响。用 表示甲队的总得分。（1）求随机变量 的分布列和数学期望；（2）用 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求 。
简析：（1） 的分布列略，求出 的数学期望为 ；（2）用 表示“甲得2分乙得1分”事件，用 表示“甲得3分乙得0分”事件，则 ，且 互斥，求出P(C)及P(D)的值，由互斥事件的概率公式得 。
又如09年辽宁理科19题，09年山东理科第19题，09年天津理科第18题也是相同题型。
5、频率分布与等可能事件的概率题型
如09年广东理科第17题：根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表（表略）。对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间
进行分组，得到频率分布直方图（如图5）。
（1）求直方图中 的值； （2）计算一年屮空气质量分别为良和轻微污染的天数；（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率。
.w.k简析：（1）由图求出 ；（2）空气质量分别为良和轻微污染的天数为 天；（3）求出每天空气质量为良或轻微污染的概率为 ，则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为 ，一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为 。
6、茎叶图、方差及等可能事件的概率题题型
如09年广东文科第18题： 随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图。（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（2）计算甲班的样本方差；（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率。
简析：（1）由茎叶图判断出乙班平均身高高于甲班；（2）甲班的样本方差为 ；（3）设身高为176cm的同学被抽中的事件为A， 甲 乙
从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm 2 18 1
的同学共10个基本事件，而事件A含有4个 9 9 1 0 17 0 3 6 8 9
基本事件，则 。 8 8 3 2 16 2 5 8
四、立体几何模型 8 15 9
如09广东文科第17题：某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示。墩的上半部分是正四棱锥 ，下半部分是长方体 。图2、图3分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。（1）请画出该安全标识墩的侧视图；（2）求该安全标识墩的体积；（3）证明：直线 平面 。
简析：画出侧视图同正视图后,由所画图知，该安全标识墩的体积为：v=64000(cm2)；
五、三角函数模型
如09海南理科第17题：为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内，飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出
需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；
②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。
简析：需要测量的数据有：A点到M，N点的
俯角 ；B点到M、N的俯角 ；A，B的距离d（图略）；然后由正弦定理计算AM、AN，由余弦定理求出MN长： 。
又如07年海南文科第17题，07年山东理科第20题，09福建理科第18题，09辽宁理科第17题（文科第18题）及09海南、宁夏文科第17题也是相同题型。
六、函数应用模型
如08江苏试卷第17题：如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB＝20km，BC＝10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO。记铺设管道的总长度为ykm。
（1）按下列要求建立函数关系式：
①设 （rad），将 表示成 的函数；
②设 （km），将 表示成 的函数；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。
简析：（1）① 表示成 的函数关系式为 ；② 表示成 的函数关系式为 ；（2）如选择第一个函数模型，用导数知识求如当 = 时， 。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离AB 边 km。
又如08广东文科17题，09山东理科第21题也是相同题型。
七、不等式应用模型
如07山东文科第19题：本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为 元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元。问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
简析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 分钟和 分钟，总收益为 元，由题意得 目标函数为 ．用线性规划方法求得当 时， 。
作者简介：刘珍王，福建大田一中高级教师。从教近三十年，担任多年的高三毕业班数学教学，取得了较好的成绩。近十几年有十余篇论文在CN级刊物发表。 |