数形结合思想在二次函数中的应用
吉林省松原市乾安县安字 朱淑洁131400
著名的数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非。”寥寥数语把数形结合说得淋漓尽致。数形结合是数学解题中常用一种数学思想方法，可以使抽象的数学问题直观化，生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题中的本质。数学教学不仅是数学知识的教学，更重要的是数学思想方法的教学，教学中教师应注重对学生的观察、操作、分析思维能力的培养，更应不断地渗透数学思想方法，将此作为教学的核心，为学生的后继学习打下坚实的基础，使学生终身受益。二次函数是初中数学的重要内容之一，也是学习的一个难点，同时又是“数形结合”思想方法体现的很充分的一个章节。在此特对数形结合解决二次函数的问题进行简单的归纳分析。
一、由函数图象可得函数中的a、b、c及有关代数式的值。
例：（如图）由函数图象可以直接得二次函数的基本性质（如：函数的变化趋势……），此外，在y=ax²+bx+c(a≠0)中还能得以下结论：
（1）∵抛物线开口向上 ∴a＞0
（2）∵抛物线顶点在第四象限 ∴- ＞0 即 ＜0 ∴ b＜0
（3）∵抛物线与y交于y轴的负半轴 ∴ c＜0
（4）∵当 x=1时， y＜0 ∴ a+b+c＜0
∵当 x=-1时，y＞0 ∴ a-b+c＞0
∵当x=2时，y＞0 ∴ 4a+2b+c＞0
∵当 x=-2时，y＜0 ∴4a-2b+c＜0
… … … …
(5) ∵抛物线与x轴有两个交点 ∴b²-4ac＞0
（6）∵抛物线的对称轴在直线x=1的左边 ∴- ＜1 ∴2a+b＞0
∵抛物线的顶点在直线y=-1的下方
∴ ＜-1 ∴4ac-b²＜-4a
… … … …
二、 由函数图象可以得出方程的解，不等式的解。
例：（如图）由函数图象可得：（抛物线的对称轴
… … ）基本性质外，在 =ax²+bx+c(a≠0)还
可得到以下两点：
（1）∵抛物线与x轴交于（-1，0），（3，0）
∴方程ax²+bx+c=0解为： =-1 =3
（2）∵当-1＜x＜3时，y＜0 ； 当x＜-1或x＞3时，y＞0
∴ax²+bx+c＞0的解集是-1＜x＜3
ax²+bx+c＜0的解集是x＜-1或x＞3
当然，由函数图象也可以得到这个二次函数的解析式。
如果在图象中再出现直线 =2x+1,则根据图象也能得到什么情况下 ＞ ；什么情况下 ＜ ；什么情况下 = 。
三、利用函数图象可以使一些问题简单化。
例1：（如图）无论x为何值，y =ax²+bx+c恒为
正的条件是：( )
A a＞0 b²-4ac＞0 B a＜0 b²-4ac＞0
C a＞0 b²-4ac＜0 D a＜0 b²-4ac＜0
该题如果从解不等式的角度去思考，对初中生来说是一个较难的问题，但从图形思考，则答案就显而易见了，即a＞0 b²-4ac＜0。
例2：若一条抛物线y =ax²与四条直线x=1， x=2， y=1， y=2围成的正方形有公共点，求a的取值范围。
此题如果不从图形的角度去思考是很难解决的，而根据题意画出图象后（如图）
不难得出：
A （1，2）B（2，2）
C （1，1）D（2，1）
易知抛物线y =ax²必
开口向上，即a＞0
当y =ax²经过点D时开口最大，此时1=a×2²，解得a=
当y =ax²经过点A时开口最小，此时2=a×1²，解得a=2
∴a的取值范围是 ≤a≤2
同样，此题如果不根据题意画出图象解答，是很难解答的，因此，遇到类似问题，必须充分利用“数形结合”的思想方法，从而取得事半功倍的效果。
三、 数形结合可以求得平移后的抛物线解析式，比较函数值的大小。
例1：抛物线y =2x²向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度，得到新的抛物线为y =2（x-2）²-3；如果不考虑函数图象直接解答是很难解决的，而且不容易记忆。同时也能得到所有抛物线平移的规律：左加右减，上加下减（左右移动是在x的后面直接加减，上下移动是在整个式子的后面加减）。
例2：已知二次函数在y=ax²+bx+c(a≠0)的图象过点A（1,2），
B（3,2），C(5,7)。若点M（-2， ），N（-1， ），K（8， ）也在二次函数的图象上，则 、 、 的大小关系？
分析：此题可以根据已知条件A、B、C三点的坐标求得函数解析式，然后再把M、N、K三点中的横坐标代入求得纵坐标的值，既而得到 、 、 的大小关系；当然如果此题联系函数图象解答会更简单一些，由A、B、C三点的坐标可以得到抛物线的对称轴为直线x=2，且开口向上，因此在对称轴的左边也就是x＜2时，y随x的增大而减小，在对称轴的右边也就是x＞2时，y随x的增大而增大，故 ＞ ，又因为点K（8， ）距对称轴的距离大于点M（-2， ）距对称轴的距离，所以 ＞ ＞ 。
以上是利用数形结合的思想解决二次函数的个案分析，实际生活中的应用还很广很深 … … 。应用数形结合思想，就是要充分考察数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合来寻找解题思路，使问题得到解决。加强数学思想方法的教学，能使学生从盲目的学习转化为有意义的学习，从题海中解脱出来，真正做到举一反三，真正提高学生的学习效益。 |