试再给圆定义

 

贵州省三都水族自治县   王德先 （水族）  558100

 

    “没有规矩，不成方圆”，有了规，古人即可作圆，由此看出圆及其定义是那样的古朴而完美。但在近代，随着解析几何的出现，我们可以用代数来研究几何，而后向量的引入，我们的数学语言越来越丰富。那么我们能否用新的数学语言来描述圆呢？我在解答一道数学题的过程中，经过代数——几何的反复转化后发现，圆可以象椭圆那样有第二定义、第三定义……

贵州省2009--2010学年第一学期期末考试卷高三数学（理科）第11题“在△ABC中， ,则△ABC的面积的最大值为    。

A.         B.      C.       D.   ”

参考答案： , ,

即 ， , .

.          故答案选A.     出题者要考查的是向量的运算、均值定理、三角函数的转化及不等式的性质等。这道题可另解： ……1， ……2且

即 .                             

 

由 于B、C为两定点，对两向量的和用平行四边形法则，A为动点，但A始终为以AB、AC为邻边平行四边形的一个顶点，且对角线BC=2，AD= .所以A在以BC的中点O为圆心 为半径的圆上运动，如图（,1）所示。当 时，如图（2）所示， 的面积最大， .

   在上述解答中，由2 式得到圆的第二定义：平面内到两定点的距离的平方和为常数的点 的集合是圆。

证明：如图，设F₁（-t ，0）、F₂（t ，0）为两定点， ，

M（x ，y）为平面内任意一点， （m、t为常数且m>2t²）

则（x+t）²+y²+（x－t）²+y²=m

即 .由于m>2t²，这是圆的方程，故M的集合是圆。

在上述解答中，由1式得到圆的第三定义：由平面内一动点向两定点引向量，若这两向量的数量积为常数，则该动点的轨迹是圆。

证明：如图，设F₁（-t ，0）、F₂（t ，0）为两定点， ，

M（x ，y） 为平面内任意一点， 且  （m为常数m>－t²）

显然 ，

， 。

，

即 

  

 由于m>－t²，则m+t²>0，这是圆的方程，故M的轨迹是圆。

     由圆的第二定义我们可以得到定理：若三角形的三边的平方和为定值且其中一边为常数，则该边所对顶点的轨迹是关于这条边对称的两半圆。

作为定义，言简意赅。圆的古典式定义的地位不可撼动，“平面内到定点的距离为定长的点的集合是圆”是那样的完美。那么我们可以将上述圆的两定义改为圆的性质也是可以的：

定理1：若F₁、F₂是圆的一条对称轴上关于圆心对称的两点，则圆上任意一点到F₁、F₂的距离的平方和为常数。

在定理1中，若设圆上任意一点到F₁、F₂的距离的平方和为常数为s，圆的半径为r， 。则①当s=2r²时t=0，F₁、F₂重合为圆心；②当2r²<s<4t²时，F₁、F₂在圆内；③当s=4t²时，F₁、F₂在圆上；④当s>4t²时，F₁、F₂在圆外。

在定理2中，若设 的值为常数u。1当u=r²时，F₁、F₂重合为圆心；2当0<u<r²时F₁、F₂在圆内；3当u=0时，F₁、F₂在圆上；4当u<0时，F₁、F₂在圆外。