云南省   孔丽荣

     【摘要】三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要作用，是每年高考必考的重点内容之一。从高考趋势看，三角函数在高考命题中有如下趋势：（1）考查三角函数的基本概念、基本公式、正弦函数的图象及基本性质，多为客观题；（2）考查三角函数的图象和性质，即图象的平移、伸缩变换与对称变换，画图与识图，与单调性、周期性和对称性、最值有关的问题；（3）强调三角函数的工具性，加强了三角函数与其他知识的综合，如与向量知识、三角问题、解析几何、立体几何的综合。

两个同角三角函数的基本关系式： 和 ，它们揭示了同一角三角函数之间的关系，在高考中主要用它来解决两类问题：（1）已知一个角的某一三角函数值，求该角其余三角函数值；（2）运用公式进行三角函数式的化简或证明，而诱导公式在高考中一般不单独命题，而是与其他知识综合考查三角函数定义三角函数在各个象限的符号以及三角函数值。

例1.（2012全国卷）已知 为第三象限角， ，则 （     ）。

A.-         B.-        C.         D.

解：依题意为， =- ，

此类问题容易因忽视角所在象限而失分。此题考查同角三角函数的基本关系与二倍角公式难度中等。

本考点在高考中，一个是考察利用图象求解析式或用待定系数法求函数的解析式，题目难度不大，但常与三角函数的性质结合起来，求解的关键是确定各参数的值，另一个是考察三角函数图象的平移、伸缩、相位变换，尤其是平移变换。

例2（2012年湖南卷）已知函数 = 的部分图象如图所示，求函数的解析式。

解：由题设图象知，周期T=

所以

所以 ， 

即

又因为   ，

所以

从而  即

又因为点（0,1）在函数图象上，所以 ，得A=2.

故函数的解析式为 =

点评：由三角函数 的图象求解析式时，第一步，由最大值与最小值求A及k；第二步，由周期T求 ；第三步，代入点的坐标求 ，若代入点为对称中心时，需检验。

利用恒等变换进行求值与化简，是每年高考必考内容，重点考察运用正、余弦函数的和、差角公式，正切函数的和、差角公式，以及倍角公式的正用、逆用、变形应用。从近几年高考趋势看，对于三角恒等变换求值与化简，高考命题以公式的基本运用、计算为主，在解题中一般有两个解题思路，一个是角的变化，即将多种形式的角尽量统一减少角的个数；二是“名”的变换，即三角函数名称的统一，要灵活利用公式，尽量实现切化弦，同时在实际解题时还要注意双管齐下，整体代换。

例3.（2012年广东卷）已知函数 =

（1）    求A的值。

（2）    设 ，求 的值。

解：（1）由 = 得

   （2）

           

又

点评：在求三角函数值的问题中，要注意“三看”，即：一看角，把角尽量向特殊角或已知角转化；二看名，把三角函数中的切函数向弦函数转化，把多个函数名向一个函数名转化；三看式，看式子是否满足公式，能否逆用公式，能否向公式的形式转化。

在高考中，恒等变换常与三角函数综合起来，通过恒等变换，将三角函数式化为“单角单函数”的形式，来研究三角函数的性质。

例4.（2012年四川卷）已知函数 = ，（1）求函数 的最小正周期；（2）求 在区间 上的值域。

解：（1）由已知 =

的最小正周期T=

所以 的值域

点评：要注意到三角函数名或角的差异，合理运用公式，进行恒等变换，化为“三角单角函数”的形式，进而研究三角函数的性质。

以平面向量的数量积为载体考查三角函数是高考中常见的交汇点，这类问题往往作为解答题的第（1）问或第（2）问，考察学生的推理和运算能力，解决这类问题时，三角恒等变换是解题的关键。

例5.（2012年江苏卷）在 ABC中，已知 。

（1）    求证：tanB=3tanA;

（2）    若 ，求A。

解：（1）因为

       所以

       即

       由正弦定理知

       从而sinBcosA=3sinAcosB

      又因为0<A+B< ，所以cosA>0,cosB>0

      

(2)因为 0<C<

所以sinC= ，从而tanC=2

于是

由（1）知

解之为tanA=1或tanA=

因cosA>0   故tanA=1  

点评：本题主要考查平面向量的数量积、三角函数的基本关系式、两角和的正切公式、解三角形、考查运算求解能力和推理论证能力。