沾益县   李应权

      数列问题以其多变的形式和灵活的求解方法倍受高考命题者的青睐,历年来都是高考命题的热点,求数列的通项公式更是高考重点考查的内容，作为常规的等差数列或等比数列可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要转化成等差数列或等比数列，之后再应用各自的的通项公式求解。由于求通项公式时常渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强，下面结合实例谈谈数列通项的几种求法。

一、观察法

即归纳推理，过程：观察→概括、推广→猜出一般性结论。

例1．（1）数列 的前四项为：11、102、1003、10004、……，则 _____。

分析： 即

（2） 已知数列   写出此数列的一个通项公式。

解：  观察数列前若干项可得通项公式为

已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。

二．递推法（利用 间的关系求通项）

，即已知数列前n项和，求通项。

用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”即a₁和a_n合为一个表达式。

例2．数列 的前 项和为 .

（1） ;

（2） .分别求 .

解：（1） 应为分段函数

当 时，

             

而 ，故   .

（2）

两式对应相减得 .即 ，从而 .

又              .

故数列 是首项为7，公比为2的等比数列，

故 ，即 .

三．累加法

若数列{a_n}满足 的递推式，其中 又是等差数列或等比数列，则可用

累加法求通项。

例3．已知数列{ }中,a₁₌₁,a_n+1=a_n+ ,求a_n

解： 令n=1,2,…,n-1可得

 a₂-a₁=2     a₃-a₂=2²     a₄-a₃=2³     ……    a_n-a_n-1=2^n-1

将这个式子累加起来可得

a_n-a₁=f(1)+f(2)+…+f(n-1)

∵f(n)可求和

∴a_n=a₁+f(1)+f(2)+…+f(n-1)

 当n=1时,a₁适合上式

 故a_n=2ⁿ-1

四．累乘法

若数列{a_n}能写成 的形式，则可由：

，

， 

，……   连乘求得通项公式。

 

 

例４．已知数列{a_n}满足 ，求{a_n}的通项公式。

解：  ∵ ,  

两式相减得 ,，∴     

于是有           

以上各式相乘，得 ，又a₁=1，∴a_n=  n    (n∈N)

例５． 已知数列 中， ，前ｎ项和 与 的关系是  ，试求通项公式 ．

解：首先由 易求的递推公式：

将上面n—1个等式相乘得：

五．构造法

递推关系式为a_n+1=pa_n+q (p,q为常数)

例６．已知数列   的通项公式；解：

 又

是首项为2公比为2的等比数列

。

 

 

例７．数列 中， ，则           。

解：

  为首项为2公比也为2的等比数列。

，

若数列 满足 为常数），则令 来构造等比数列，并利用对应项相等求 的值，求通项公式。

 

六、待定系数法：

例８． 已知数列 中， ， ，

其中b是与n无关的常数，且 。求出用n和b表示的a_n的关系式。

解：

的形式。由待定系数法知：

故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，故

用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列 为等差数列：则 ， （b、ｃ为常数），若数列 为等比数列，则 ， 。