例说以平面向量为背景的三角问题的解法

                           薄寒柏

由于平面向量是一个既有大小又有方向的量，所以它具有代数和几何的双重身份。比如： 这是一个几何特征， 这是一个代数特征；由于有了这个几何特征就能推出这个代数特征，反之亦然。所以以向量为背景的考题更有新的活力，更有意义。这里笔者通过近年来全国各省市高考试题，说明以向量为背景的三角问题的解法。望通行批评指正。

一.   以向量为背景求角的三角函数值

以往三角函数求值的常见题型：①已知角 求该角 的三角函数值；②已知角 求该角 等的三角函数值；③已知关于角 的三角函数式的值，求该角 的三角函数值；④已知角是某几何图形（三角形、四边形等）的角，求该角 的三角函数值。有了向量这个工具，所有问题都可以在向量背景下，去求三角函数的值。

例1.（2012.陕西.文7）设向量 =（1. ）与 =（-1，2 ）垂直，则 等于

A                 B                   C .0                D.-1

解：利用向量垂直与倍角公式求得；

   故选C.

三角函数求值通常为：知角求值和知值求值两种形式；这道试题以向量垂直为背景得出角 的值；让我们去求 的值，符合现代教育理念：在知识的交汇处出题，考查基础知识、基本技能的思想。

二.   以向量为背景求三角函数式的最值

以向量为背景的三角函数式的最值问题，更具有灵活性。要求把向量的运算、三角公式记熟才能完成。

例2：(2004·湖南·理工第13题)已知向量 ，向量 ，则 的最大值是  4 。

解：   =

     当 ,

         回味解法，所用知识：向量的减法、向量的摸、三角公式、余弦函数的值域、三角函数式的值。而将 转化为三角函数，从而求三角函数的最值是关键。

    三..以向量为背景求三角形内角的大小

求三角形的内角是解三角形最基本的问题，它要求熟练记忆三角公式，三角形中的有关定理（正弦定理、余弦定理、勾股定理、射影定理等），三角变换等知识。

例3：（2008。山东。理15）已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量 ＝（ ）， ＝（cosA, sinA）。若 ，且acosB+bcosA=csinC，则角B＝     ，

解：思路一：

， 

从而

由正弦定理 （其中 为三角形外接圆的半径）代入

得 ，

又

                    从而    。

思路二：  

， 

从而

将余弦定理代入 中，

得

从而 

回味解法，该试题设置以向量垂直为条件得一个三角方程，解这个三角方程求得角A, 再用正弦定理（思路1）或余弦定理（思路2）求得角C，从而由三角形内角和定理求得角B。

四.以向量为背景求三角形边长

例4：（2012。湖南。理7）在