分类讨论思想在高中数学解题中的应用

王永富

分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论思想覆盖面广，利于考查学生的逻辑思维能力，同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，应用分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”

引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：

（1）问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的，如log，对a 分0<a<1与 a>1。

例1. 设0<x<1，a>0且a≠1，比较|log(1－x)|与|log(1＋x)|的大小。

【分析】 比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a有关，所以对底数a分两类情况进行讨论。

解：∵ 0<x<1     ∴  0<1－x<1 ,    1＋x>1

①     当0<a<1时，log(1－x)>0，log(1＋x)<0，

所以|log(1－x)|－|log(1＋x)|＝log(1－x)－[－log(1＋x)]＝log(1－x)>0;

②当a>1时，log(1－x)<0，log(1＋x)>0，

所以|log(1－x)|－|log(1＋x)|＝－log(1－x) －log(1＋x)＝－log(1－x)>0；

由①、②可知，|log(1－x)|>|log(1＋x)|。

（2）.问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。

例2.已知数列{a_n}的前n项和S_n＝pⁿ－1(p是常数)，则数列{a_n}是       (　　)

A．等差数列                 B．等比数列

C．等差数列或等比数列       D．以上都不对

解：　∵S_n＝pⁿ－1，

∴a₁＝p－1，a_n＝S_n－S_n－1＝(p－1)p^n－1(n≥2)，

当p≠1，且p≠0时，{a_n}是等比数列；

当p＝1时，{a_n}是等差数列．

当p＝0时，a₁＝－1，a_n＝0(n≥2)，

此时{a_n}既不是等差数列也不是等比数列．故答案选D。

（3）.解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。

例3.已知函数f(x)＝ln x－ax＋(0<a<1)，讨论函数f(x)的单调性．

解　f′(x)＝－a＋＝－，x∈(0，＋∞)．

由f′(x)＝0，即ax²－x＋1－a＝0，

解得x₁＝1，x₂＝－1.

(1)若0<a<，则x₂>x₁.

当0<x<1或者x>－1时，f′(x)<0；

当1<x<－1时，f′(x)>0.

故此时函数f(x)的单调递减区间是(0,1)，，单调递增区间是.

(2)若a＝，则x₁＝x₂，此时f′(x)≤0恒成立，且仅在x＝处等于零，故此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；

(3)若<a<1，则0<x₂<x₁，

当0<x<－1或者x>1时，f′(x)<0；

当－1<x<1时，f′(x)>0.

故此时函数f(x)的单调递减区间是，(1，＋∞)，单调递增区间是

常见的分类讨论问题有：

(1)集合：注意集合中空集∅的讨论．

(2)函数：对数或指数函数中的底数a，一般应分a>1和0<a<1的讨论；函数y＝ax²＋bx＋c有时候分a＝0和a≠0的讨论；对称轴位置的讨论；判别式的讨论．

(3)数列：由S_n求a_n分n＝1和n>1的讨论；等比数列中分公比q＝1和q≠1的讨论．

(4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论．

(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论．

(6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论；平面解析几何：直线点斜式中k分存在和不存在，直线截距式中分b＝0和b≠0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论．

(7)排列、组合、概率中的分类计数问题，等等。

另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。